矩
概率统计中用于描述样本的分布情况的数学量。
原点矩
令 $$k$$ 为正整数, $$a$$ 为任意实数, $$X$$ 为随机变量,则
$$ \upsilon_k = E((X-a)^k) $$
称为随机变量对 $$a$$ 的 $$k$$ 阶矩。
当 $$a = 0$$ 时,
$$ \upsilon_k = E(X^k) $$
即为随机变量 $$X$$ 的 $$k$$ 阶原点矩。
随机变量 $$X$$ 的 一阶原点矩 即为其期望 $$E(X)$$ ,也称为样本的中心。
中心矩
对于一维随机变量 $$X$$,其 $$k$$ 阶中心矩 $$\mu_k$$ 为相对于 $$E(X)$$ 的 $$k$$ 阶矩:
$$ \mu_k = E((X-E(X)^k)) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x) dx $$
意义
- 0 阶中心矩 $$\mu_0$$ 恒为 $$1$$ ;
- 1 阶中心距 $$\mu_1$$ 恒为 $$0$$ ;
- 2 阶中心距 $$\mu_2 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^2dx = E(X^2) - E(X)^2$$ ,为 $$X$$ 的方差 $$Var(X)$$ ;
- 3 阶中心距 $$\mu_3 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^3 dx$$ 为 $$X$$ 的偏态;
- 4 阶中心距 $$\mu_4 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^4 dx$$ 为 $$X$$ 的峰态;
性质
- 中心矩具有平移不变性,对任意随机变量 $$X$$ 和任意常数 $$c$$ ,恒有:$$\mu_n(X+c) = \mu_n(X)$$ ;
- $$n$$ 阶中心矩是 $$n$$ 的齐次函数:$$\mu_n(cX) = c^n\mu_n(X)$$ ;
样本距
- 样本的 $$k$$ 阶原点矩: $$\alpha_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k$$ ;
- 样本的 $$k$$ 阶中心矩: $$\beta_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [X_i - E(X)]^k$$ ;