概率统计中用于描述样本的分布情况的数学量。

 

原点矩

\(k\) 为正整数, \(a\) 为任意实数, \(X\) 为随机变量,则

\[ \upsilon_k = E((X-a)^k) \]

称为随机变量对 \(a\)\(k\) 阶矩。

\(a = 0\) 时,

\[ \upsilon_k = E(X^k) \]

即为随机变量 \(X\)\(k\)原点矩

随机变量 \(X\)一阶原点矩 即为其期望 \(E(X)\) ,也称为样本的中心

 

中心矩

对于一维随机变量 \(X\),其 \(k\)中心矩 \(\mu_k\) 为相对于 \(E(X)\)\(k\) 阶矩:

\[ \mu_k = E((X-E(X)^k)) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x) dx \]

意义

  • 0 阶中心矩 \[\mu_0\] 恒为 \[1\]
  • 1 阶中心距 \[\mu_1\] 恒为 \[0\]
  • 2 阶中心距 \[\mu_2 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^2dx = E(X^2) - E(X)^2\] ,为 \[X\] 的方差 \[Var(X)\]
  • 3 阶中心距 \[\mu_3 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^3 dx\]\[X\] 的偏态;
  • 4 阶中心距 \[\mu_4 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^4 dx\]\[X\] 的峰态;

性质

  • 中心矩具有平移不变性,对任意随机变量 \[X\] 和任意常数 \[c\] ,恒有:\[\mu_n(X+c) = \mu_n(X)\]
  • \[n\] 阶中心矩是 \[n\] 的齐次函数:\[\mu_n(cX) = c^n\mu_n(X)\]

 

样本距

  • 样本的 \(k\) 阶原点矩: \(\alpha_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k\)
  • 样本的 \(k\) 阶中心矩: \(\beta_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [X_i - E(X)]^k\)