公式记号

\[ P(A \cap B) = P(AB) \]

 

事件独立性

独立 (Independent) 和两两相互独立 (Pairwise independent)

记有事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) ,若事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 独立:

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_m) = P(A_1)P(A_2)...P(A_m) \]

若事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 两两相互独立:

\[ P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j), for\ any \ 1 \le i, j \le m \]

注意

事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 独立比事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 两两相互独立的条件更强,即使事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 两两相互独立,事件 \(A_1、A_2、...、A_m\) 也不一定独立,即公式 \((3)\) 成立,公式 \((2)\) 也不一定成立。

例子

抛两次骰子,记第一次抛出正面为事件 \(A\) ,记第二次抛出正面为事件 \(B\) ,记两次抛出得到相同的面为事件 \(C\) ,事件 \(A、B、C\) 两两相互独立,但是事件 \(A、B、C\) 并不独立:

\[ P(A \cap B) = P(A \cap C) = P(B \cap C) = \frac{1}{4} \]

\[ P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{8} \]

 

多项式系数与分堆、分配问题

多项式系数

问题定义

设有 \(n \geq 1\) 个不同的物品, \(r\) 个不同的人,把 \(n_i\) 个物品分给第 \(i\) 个人, \(\sum_i^r n_i = 1\) ,且 \(n_i \geq 0,for \ any \ i\) ,有多少种分配方法 ?

解决方法

假设有 \(c\) 种分配方法,\(n\) 件物品共有 \(n!\) 种排列方法,考虑每一个划分 \(n_i\) ,每一个划分共有 \(n_i!\) 种排列方法,可得下列等式:

\( c*n_1!*n_2!* \cdots * n_r! = n! \) 所以,得到分配方法有

\( c = \frac{n!}{n_1!*n_2!* \cdots * n_r!} \) 公式 \((7)\) 即为多项式系数。

 

分堆问题

问题定义

将若干物品分为若干部分,有多少种分法 ?

例子

\(7\) 名运动员分为 \(3\) 组,比例为 \(2:2:3\) ,有多少种不同的分法 ?

解决方法

\[ N = \frac{\binom{7}{2} \binom{5}{2} \binom{3}{3}}{\mathrm{A}_2^2} \]

除以 \(\mathrm{A}_2^2\) 是为了减去分配比例相同的分配方法中的重复的项。

 

分配问题

问题定义

将若干物品按比例分给不同人,有多少种分法?

例子

\(12\) 支笔按照 \(2:2:2:3:3\) 的比例分给 \(A、B、C、D、E\) 5个人,有多少种分法 ?

解决方法

\[ N = \binom{12}{2} \binom{10}{2} \binom{8}{2} \binom{6}{3} \binom{3}{3} \]

分给不同的人即不同的排列是不同的分配方法,不需要用除法减去重复排列的数量。

若改为分堆问题

\(12\) 支笔按照 \(2:2:2:3:3\) 的比例为 \(5\)$ 份,有多少种分法 ?

\[ N = \frac{\binom{12}{2} \binom{10}{2} \binom{8}{2} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{\mathrm{A}_3^3 \mathrm{A}_2^2} \]

其中 \(\mathrm{A}_3^3\)\(2:2:2\) 的部分的重复数量, \(\mathrm{A}_2^2\)\(3:3\) 的部分重复的数量。