结论

N维空间中点到超平面的距离为:

\[ d = \frac{\lvert \vec{w}^T \vec{x}+b\rvert}{\lvert\lvert w \rvert\rvert} \]

证明

前置证明

证明: \(w\)\(\vec{w}^T \vec{x} + b = 0\) 这个平面的法向量。

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\(\vec{w}^T \vec{x} + b = 0\) 张成的平面为 \(S\)\(A\)\(B\) 为平面 \(S\) 上的任意两点,则 \(\vec{OA}\)\(\vec{OB}\) 为从原点指向 \(A\)\(B\) 两点的向量,因此 \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\) 为平面 \(S\) 中的一个向量。由于 \(A\)\(B\) 的任意性,\(\vec{BA}\) 可以表示平面 \(S\) 中的任意一个向量。

\(A\)\(B\) 对应的点分别为 \(\vec{x}_1\)\(\vec{x}_2\) ,有

\[ \begin{aligned} \vec{w}^T \vec{x}_1 + b &= 0 \\ \vec{w}^T \vec{x}_2 + b &= 0 \\ \end{aligned} \]

因此,

\[ \vec{w}^T (\vec{x}_1 - \vec{x}_2) = 0 \]

即,\(\vec{w}^T\) 与平面 \(S\) 内的任意向量 \(\vec{BA}\) 的内积为 \(0\) , 因此,\(\vec{w}\) 是平面 \(S\) 的法向量。

正式证明

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\(M\) 为空间中任意一点,对应坐标为 \(\vec{x}\)\(M\) 到原点 \(O\) 的连线与平面 \(S\) 的交点为 \(Q\),对应坐标为 \(\vec{y}\),则 \(M\) 到平面 \(S\) 的距离 \(d\),即为 \(\vec{QM}\) 在法向量 \(\vec{w}\) 上的投影长度。

\[ d = \frac{\lvert <\vec{w},\vec{QM}> \rvert}{\lvert\vert \vec{w} \rvert\rvert} \]

其中, \(\vec{QM} = \vec{OM} - \vec{OQ} = \vec{x} - \vec{y}\) ,且 \(Q\) 在平面 \(S\) 中,因此,

\[ \begin{aligned} & \vec{w}^T \vec{y} + b = 0 \\ & \vec{w}^T \vec{y} = -b \\ \end{aligned} \]

又,

\[ \begin{aligned} \lvert <\vec{w},\vec{QM}> \rvert &= \lvert \vec{w}^T (\vec{x} - \vec{y}) \rvert \\ \lvert <\vec{w},\vec{QM}> \rvert &= \lvert \vec{w}^T \vec{x} - \vec{w}^T \vec{y} \rvert \\ \lvert <\vec{w},\vec{QM}> \rvert &= \lvert \vec{w}^T \vec{x} + b \rvert \end{aligned} \]

因此,点 \(M\) 到平面 \(S\) 的距离为,

\[ d = \frac{\lvert \vec{w}^T \vec{x} + b \rvert}{\lvert\lvert \vec{w} \rvert\rvert} \]