N维空间中点到超平面的距离

结论 N维空间中点到超平面的距离为: \[ d = \frac{\lvert \vec{w}^T \vec{x}+b\rvert}{\lvert\lvert w \rvert\rvert} \] 证明 前置证明 证明: \(w\) 是 \(\vec{w}^T \vec{x} + b = 0\) 这个平面的法向量。 设 \(\vec{w}^T \vec{x} + b = 0\) 张成的平面为 \(S\), \(A\)、\(B\) 为平面 \(S\) 上的任意两点,则 \(\vec{OA}\) 和 \(\vec{OB}\) 为从原点指向 \(A\)、\(B\) 两点的向量,因此 \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\) 为平面 \(S\) 中的一个向量。由于 \(A\) 和 \(B\) 的任意性,\(\vec{BA}\) 可以表示平面 \(S\) 中的任意一个向量。 设 \(A\) 和 \(B\) 对应的点分别为 \(\vec{x}_1\) 和 \(\vec{x}_2\) ,有 \[ \begin{aligned} \vec{w}^T \vec{x}_1 + b &= 0 \\ \vec{w}^T \vec{x}_2 + b &= 0 \\ \end{aligned} \]...

October 2, 2021 · 2 min · Hambaobao