矩 概率统计中用于描述样本的分布情况的数学量。 原点矩 令 $$k$$ 为正整数, $$a$$ 为任意实数, $$X$$ 为随机变量,则 $$ \upsilon_k = E((X-a)^k) $$ 称为随机变量对 $$a$$ 的 $$k$$ 阶矩。 当 $$a = 0$$ 时, $$ \upsilon_k = E(X^k) $$ 即为随机变量 $$X$$ 的 $$k$$ 阶原点矩。 随机变量 $$X$$ 的 一阶原点矩 即为其期望 $$E(X)$$ ,也称为样本的中心。 中心矩 对于一维随机变量 $$X$$,其 $$k$$ 阶中心矩 $$\mu_k$$ 为相对于 $$E(X)$$ 的 $$k$$ 阶矩: $$ \mu_k = E((X-E(X)^k)) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x) dx $$ 意义 0 阶中心矩 $$\mu_0$$ 恒为 $$1$$ ; 1 阶中心距 $$\mu_1$$ 恒为 $$0$$ ; 2 阶中心距 $$\mu_2 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^2dx = E(X^2) - E(X)^2$$ ,为 $$X$$ 的方差 $$Var(X)$$ ; 3 阶中心距 $$\mu_3 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^3 dx$$ 为 $$X$$ 的偏态; 4 阶中心距 $$\mu_4 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^4 dx$$ 为 $$X$$ 的峰态; 性质 中心矩具有平移不变性,对任意随机变量 $$X$$ 和任意常数 $$c$$ ,恒有:$$\mu_n(X+c) = \mu_n(X)$$ ; $$n$$ 阶中心矩是 $$n$$ 的齐次函数:$$\mu_n(cX) = c^n\mu_n(X)$$ ; 样本距 样本的 $$k$$ 阶原点矩: $$\alpha_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k$$ ; 样本的 $$k$$ 阶中心矩: $$\beta_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [X_i - E(X)]^k$$ ; ...

April 21, 2021 · 1 min · Hambaobao

重学概率论:零散知识记录

公式记号 $$ P(A \cap B) = P(AB) $$ 事件独立性 独立 (Independent) 和两两相互独立 (Pairwise independent) 记有事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ ,若事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 独立: $$ P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_m) = P(A_1)P(A_2)…P(A_m) $$ 若事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立: $$ P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j), for\ any \ 1 \le i, j \le m $$ 注意 事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 独立比事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立的条件更强,即使事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立,事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 也不一定独立,即公式 $$(3)$$ 成立,公式 $$(2)$$ 也不一定成立。 例子 抛两次骰子,记第一次抛出正面为事件 $$A$$ ,记第二次抛出正面为事件 $$B$$ ,记两次抛出得到相同的面为事件 $$C$$ ,事件 $$A、B、C$$ 两两相互独立,但是事件 $$A、B、C$$ 并不独立:...

March 25, 2021 · 2 min · Hambaobao

重学概率论 1:独立、互斥、对立

独立事件 (Independent events) 定义 事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 互斥的定义是:$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$ ,即事件 $$A$$ 的发生不会对事件 $$B$$ 的发生产生任何影响,事件 $$B$$ 的发生不会对事件 $$A$$ 的发生产生任何影响。 例子 抛两次硬币,记第一次抛到正面朝上为事件 $$A$$ ,第二次抛到正面朝上为事件 $$B$$ ,则事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 相互独立,因为第一抛硬币的结果并不会影响第二次抛硬币的结果。 互斥事件 (Mutually exclusive events) 定义 事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 互斥的定义是:$$A \cap B = \emptyset$$ ,即事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 不可能同时发生。 例子 设一个大学生是大一学生、大二学生、大三学生、大四学生分别为事件 $$A、B、C、D$$ ,则事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 是互斥事件,因为一个同学不可能既是大一学生又是大二学生。 对立事件 (Opposing events) 定义 事件 $$A$$ 和事件 $$B$$ 对立的定义是:$$A \cap B = \emptyset$$ 并且 $$A \cup B = U$$ 。...

March 24, 2021 · 1 min · Hambaobao